4123(10) = 4*1000 + 1*100 + 2*10 + 3*1 = 4*103 + 1*102 + 2*101 + 3*100
Dla nas ten system jest naturalny, uczymy się go od małego, więc nawet nie zastanawiamy się jak on "działa". Dla komputerów jednak reprezentacja 10 różnych wartości byłaby kłopotliwa, więc stosuje się mniej skomplikowany system, system dwójkowy. Ma on 2 cyfry: 0 i 1, co może odpowiadać stanom: jest włączony bądź wyłączony, jest napięcie lub go nie ma. Pozycja cyfry powiązana jest z kolejną potęgą liczby 2:
11101(2) = 1*16 + 1*8 + 1*4 + 0*2 + 1*1 = 1*24 + 1*23 + 1* 22 + 0*21 + 1*20
Zatem, jak można przeliczyć z systemu dwójkowego na dziesiętny i na odwrót? Bardzo prosto.
Zacznijmy od zamiany liczby w systemie dwójkowym...
1101(2) = 1*8 + 1*4 + 0*2 + 1*1 = 1*23 + 1* 22 + 0*21 + 1*20 = 13(10)
... i już. Proste, prawda?
Z systemu dziesiętnego na dwójkowy przejście również nie jest skomplikowane, choć wymaga nieco więcej pracy. Weźmy na ten przykład liczbę 123. I przypomnijmy sobie kolejne potęgi dwójki:
Poszukajmy teraz największej potęgi dwójki, mniejszej lub równej naszej przeliczanej liczbie. Wychodzi nam 64, mieści się raz. Odejmijmy teraz od 123 liczbę 64. Zostaje 59. Patrzymy na kolejną potęgę (teraz już nie szukamy, idziemy po kolei) - 32 mieści się raz. Odejmijmy 59 - 32. Zostaje 27. Kolejna potęga - 16 - mieści się raz. 27-16 = 11. Kolejna potęga, 8, mieści się raz. 11-8 = 4. Następną potęgą jest 4. Nie mieści się ani razu (czyli mieści się 0 razy). Idziemy dalej. W naszej reszcie, 3, wartość 2 mieści się raz. 3-2 = 1. Ostatnia potęga dwójki, czyli 1, w reszcie mieści się 1 raz. Doszliśmy do zera. KONIEC.
210
|
29
|
28
|
27
|
26
|
25
|
24
|
23
|
22
|
21
|
20
|
1024
|
512
|
256
|
128
|
64
|
32
|
16
|
8
|
4
|
2
|
1
|
Poszukajmy teraz największej potęgi dwójki, mniejszej lub równej naszej przeliczanej liczbie. Wychodzi nam 64, mieści się raz. Odejmijmy teraz od 123 liczbę 64. Zostaje 59. Patrzymy na kolejną potęgę (teraz już nie szukamy, idziemy po kolei) - 32 mieści się raz. Odejmijmy 59 - 32. Zostaje 27. Kolejna potęga - 16 - mieści się raz. 27-16 = 11. Kolejna potęga, 8, mieści się raz. 11-8 = 4. Następną potęgą jest 4. Nie mieści się ani razu (czyli mieści się 0 razy). Idziemy dalej. W naszej reszcie, 3, wartość 2 mieści się raz. 3-2 = 1. Ostatnia potęga dwójki, czyli 1, w reszcie mieści się 1 raz. Doszliśmy do zera. KONIEC.
W tabelce wyglądałoby to tak:
Potęga dwójki
|
Mieści się
|
Reszta
| |
-
|
128
|
-
|
-
|
123
|
64
|
1
|
59
|
59
|
32
|
1
|
27
|
27
|
16
|
1
|
11
|
11
|
8
|
1
|
3
|
3
|
4
|
0
|
3
|
3
|
2
|
1
|
1
|
1
|
1
|
1
|
0
|
Rozpisując liczbę 123 na sumę potęg 2 mamy:
123(10) = 1*64 + 1*32 + 1*16 + 1*8 + 0*4 + 1*2 + 1*1 = 1111011(2)
Bardzo ważne jest by pamiętać, że jeśli już znajdziemy wartość potęgi dwójki, która się miesci, musimy przejść przez wszystkie mniejsze potęgi, analizując czy występuje (piszemy 1), czy też nie (dajemy 0). Jeśli się zapomnimy - wyjdą nam złe wyniki.
